3.1 Áreas.

3.1 AREAS

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos degeometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

3.1.1   Área bajo la gráfica de una función.

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

3.1.2 Area Entre las Graficas de Funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:

 f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .

Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.

Ejemplo de Aplicación 1:

La siguiente grafica representa el área entre funciones explicada anteriormente:

Ejemplo De Aplicacion 2:

La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente:

Fuentes:

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/AreaEntreLasGr%E1ficasDeFunciones

3.2 Longitud de curvas

Longitud de curvas


Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.


Formulacion

Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t comoela longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:
 
Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante la longitud del arco comprendido en el intervalo toma la forma:
 

Deducción de la fórmula para funciones de una variable

 

Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido,  

siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;
  


Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;


Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:


Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que Δx tienda a cero. Así, Δx deviene en dx, y cada cociente incremental Δy_i / Δx_i se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco

 Fuente de informacion: Libro de calculo integral para ciencias basicas en ingenieria
Autor: Rene benitez
Editorial: Trillas

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución

Sólido de revolución

Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar
Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es: 

Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

Referencias

Enlaces externos

Weisstein, Eric W., «Sólido de revolución»

Categorías: Cálculo integral | Geometría

http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_revoluci%C3%B3n