Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo
, en donde 
Es decir
Por ejemplo
en donde todos los 
valen 1, o
valen 1, o
y todos sus 
.
.Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, 
es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.
es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.Pero para x = 1/2 es
que es una serie geométrica de razón 
y su 
con lo que la serie es convergente. Más aún, 
es una serie geometrica de razón x y será convergente si 
, es decir si 
,
y su con lo que la serie es convergente. Más aún, es una serie geometrica de razón x y será convergente si , es decir si ,siendo 
.
.Si se cumple esta condición:
, pero sólo en el intervalo (-1;1).Gráficamente
 |
sólo definida en la parte marcada gruesa por la serie Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en
Intervalo de convergencia: Se llama intervalo de convergencia I al conjunto de valores reales de x que convierte a la serie de potencias en una serie numérica convergente.
Radio de convergencia: Lamamos así a la menor de las cotas superiores del conjunto I.
En el caso de 
se observa que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es R = 1.
se observa que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es R = 1.Se observa que el intervalo I está centrado en el origen. Siempre es asi para el I de 
.
.Cálculo del radio e intervalo de convergiencia:
Sea la serie de potencias 
. Formemos la serie de valores absolutos, es decir
. Formemos la serie de valores absolutos, es decir
que es una serie de términos positivos que si converge arrastrará la convergencia de 
que no necesariamente es de términos positivos.La convergencia de 
la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si
será convergente.
la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si será convergente.Desarrollando
y entonces la serie converge para
ó 
Llamamos R al
y además 
.
y además .Para 
todos los valores de an=1, 
, en cambio para 
es 
y el I = R
todos los valores de an=1, , en cambio para es y el I = RSeries de McLaurin y Taylor:
Sea la fórmula de McLaurin
siendo 
con 0 < z < x.
con 0 < z < x. Es decir 
.
.Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión
Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:
1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y
2)
.
.Ejemplo: Sea f(x) = ex
Veremos si
.
.
que 
.Ejercicio:
Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.
f(x) = senx ; f(0)=0
f'(x) = cosx ; f '(0)=1
f"(x)= -senx; f"(0)=0
f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1
fIV(x)= senx ; fIV(0)=0
fV(x)= cosx ; fV(0) =1 y generalizando
pero en todo caso siempre son en valor absoluto menores que 1, y finalmente
con lo que 
y finalmente
Estudiemos el intervalo de convergencia
y por lo tanto I = RVea se en
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