CALCULO INTEGRAL

miércoles, 1 de junio de 2011

3.4 Cálculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones.

CENTROIDE

Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos lo s puntos, la misma figurará como factor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto desparecerá .

Las expresiones definen entonces una propiedad del cuepo puramente geométrico, sin referencia alguna a sus propiedades físicas, cuando el cálculo se refiera unicamente a una figura geométrica, se utilizará el término centroide.

Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es el centroide de la figura. Cuando se hable de un cuerpo físico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aqullos no coincidarán, en general.

Los cálculos relacionados con los centroides caen dentro de 3 categorías clarmente definidas según que la forma del cuerpo en cuestión pueda ser representada por una línea, una superficie o un volumen

Para líneas.-

En x = (Distancia del eje X x (derivada de la línea))/masa

En y = (Distancia del eje Y x (derivada de la línea))/masa

En z = (Distancia del eje Z x (derivada de la línea))/masa

Para superficies.-

En x = (Distancia del eje X x (derivada del área))/masa

En y = (Distancia del eje Y x (derivada del área))/masa

En z = (Distancia del eje Z x (derivada del área))/masa

Para volumenes.-

En x = (Distancia del eje X x (derivada del volumen))/masa

En y = (Distancia del eje Y x (derivada del volumen))/masa

En z = (Distancia del eje Z x (derivada del volumen))/masa

Si una figura geométrica posee un eje de simetría, el centroide de la figura coincide con este eje.

FIGURA GEOMÉTRICA LOCALIZACIÓN DEL CENTROIDE

Perímetro del triángulo Centro del círculo inscrito del triángulo cuyos vértices son l os puntos medios

de los lados del triángulo dado.

Arco del semicírculo de radio R Distancia desde el diámetro = 2R

Arco de 2 radianes de un círculo de Dist. desde el centro del círculo = R sin

radio R

Area del triángulo Intersección de las medianas

Area del cuadrilátero Intersección de las diagonales de un

paralelogramo cuyos lados pasan a

través de los puntos de trisección

adyacentes a los pares de lados

consecutivos del cuadrilátero.

Area del semicírculo de radio R Dist. desde el diámetro = 4R

Area del sector circular del radio R Distancia desde el centro del círculo

y del ángulo central 2 radianes. = 2 R sin

Area de la semielipse de altura h Dist. desde la base = 4h

Area del cuadrante de una elipse Dist. desde el eje menor = 4a , dist.

de semiejes mayor y menor (a y b). 3

desde el eje mayor = 4b

Area del segmento parabólico Dist. desde la base = 2/5 h

derecho de altura h.

FIGURA GEOMÉTRICA LOCALIZACIÓN DEL CENTROIDE

Area lateral de una pirámide regular o un Dist. desde la base = 1/3 h

cono circular.

Area de un hemisferios de radio R Distancia desde la base =1/2 R

Volumen de piramide o cono ¼ de la distancia desde el centro de la base al vértice de la pirámide o cono.

Volumen de la porción de una pirámide En la línea uniendo los centroi o cono con d como la distancia entre de las 2 bases a la distancia los centroides de las 2 bases y k como desde el centroide a la base el radio de similaridad de la base mayor menor a la menor =1/4 d ((1+2k+3k2)/(1+k+k2)) Volumen del hemisferio de radio R Distancia desde la base = 3/8 R Volumen de revolución de altura h obtenida revolviendo una semielipse Distancia desde la base = 3/8 h por sus ejes de simetría

Volumen de parabola de revolución Distancia desde la base = 1/3 h de altura h

Aplicación del centroide.-

El centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actuan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente.

Relación del centroide con el moméntum.-

En el caso de los puentes el centroide nos ayuda a ver como hacer para que si se rompe un cable que sostenga al puente no cree torque la rotura del cable, es decir nos ayuda a equilibrar un puente o figuras irregulares, para que si afecta algo al sistema no suceda nada, que pueda cambiar la figura.

En conclusión para localizar el centroide de una figura, se utilizan las tablas de centroide, en donde, detallando cada figura para encontrar sus coordenadas primas para el cálculo general, se desarrolla un procedimiento establecido:

Se obtiene el área total de la figura, encontrando su centroide en base a la tabla del indicado, es decir, sus coordenadas primas.

Se extrae cada figura que obstruye exista un objeto con volumen igual en todos los puntos

Se obtiene el área de la figura extraída, encontrando su centroide en base a la tabla del indicado, es decir sus coordenadas primas, y así, con todas las figuras que conformen el cuerpo geométrico

Se procede con la siguiente fórmula:
A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...
x= A1t - Af1 - Af2 ...
A1t(y1t) - Af1(yf1) - Af2(yf2)...
y= A1t - Af1 - Af2 ...
Ejemplo.- Localizar el centroide de la siguiente figura
A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...
x= A1t - Af1 - Af2 ...
3,5(63) - 6,33(3) - 2,5(1)
x= 63 - 3 - 1
x = 3,37 m
Ejemplo.- Encontrar el centroide de la figura
A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...
x= A1t - Af1 - Af2 ...
4,5(90) - 8,28(14,13) - 1,33(4)
x= 90 - 14,13 -4
x = 3,93326 m
Encontrar el centroide de la figura
A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...
x= A1t - Af1 - Af2 ...
3,5(77) - 6,33(4) - 3(4) - 3 (0,25)
x= 77 - 4 - 4 - (0,25)
x = 3,41 m

BIBLIOGRAFÍA:

SELBY, Samuel M, “STANDARD MATHEMATIC TABLES”, The chemical Rubber Co. Ohio, USA. 1964, 1965, 1967, 1969, diez y siete ava edición.

WILSON, Jerry D, FISICA, Prentice Hall, Segunda Edición, Tomo 1, México, 194-198. 260-261.

BLATT, Frank J. “FUNDAMENTOS DE FISICA”, 3ra edición, Prentice Hall, México, 129-136.

www.monografias.com

www.altavista.com

http://www.geocities.com/Athens/Delphi/8951/

martes, 31 de mayo de 2011

4.1 Definición de seria. 4.1.1 Finita. 4.1.2 Infinita.

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos

a n

como

donde n es el índice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, $i = 1,2,3,\ldots$ .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si

no existe o si tiende a infinito; puede converger si

Serie finita

x i

= 0

para todo

i

>

n

y i

= 0

para todo

i

>

m

. En este caso el producto de

Cauchy de

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita

§ Primer ejemplo. Para alguna

por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente

se ha demostrado que

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula

exp(a

+

b) = exp(a)exp(b)

para todo

Segundo ejemplo. Sea

x (n) = 1

para todo, por lo tanto el producto de Cauchy

fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_de_Cauchy

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.

Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de

se obtiene un número L, con los siguientes casos:

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:Sea:

Tal que:

§ f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y

§ f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

con n tendiendo a infinito.

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:

§ L < 1 la serie converge

§ L > 1 la serie diverge

§ L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie

tal que

a k

> 0

(serie de términos positivos). Y supongamos que existe.

Entonces, si:

L

< 1

, la serie es convergente.

L

> 1

entonces la serie es divergente.

L

=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

FUENTE:

http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_d'Alembert

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica#Criterio_de_Cauchy_.28ra.C3.ADz_en.C3.A9sima.29

jueves, 26 de mayo de 2011

4.3 Serie de potencias

Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo

, en donde

Es decir

Por ejemplo

en donde todos los valen 1, o

y todos sus .

Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.

Pero para x = 1/2 es

que es una serie geométrica de razón y su suma con lo que la serie es convergente. Más aún, es una serie geometrica de razón x y será convergente si , es decir si ,

siendo .

Si se cumple esta condición:

Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamentea a una función. En este caso a , pero sólo en el intervalo (-1;1).

Gráficamente

sólo definida en la parte marcada gruesa por la serie

Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en

Intervalo de convergencia: Se llama intervalo de convergencia I al conjunto de valores reales de x que convierte a la serie de potencias en una serie numérica convergente.

Radio de convergencia: Lamamos así a la menor de las cotas superiores del conjunto I.